Es gibt diese Silikon-BHs, die auf der Haut haften. Mit dem Stichwort "Klebe-BH" findest bestimmt was. Das müsstest halt vorher mal probieren, wie sich das anfühlt.
Mit dem Schweiß wirst auskommen müssen. Damit Deine Brustwarzen nicht wund werden, gibt es sogenannte Nippelcover, die man wie ein Pflaster (Pflaster geht auch, aber da ist Abziehen eher nicht so angenehm) drauf pappt, sodass es hier keine Reibung geben kann. Diese Nippelcover tragen auch Männer, z.B. im Marathonsport, weil diese lange Reibung mit dem Schweiß zusammen sonst böse Entzündungen macht.